Question

设数列{a_n}具有以下性质：①a₁=1；②当n∈N^*时，a_n≤a_n+1．
（Ⅰ）请给出一个具有这种性质的数列，使得不等式

a 2 1

a2

+

a 2 2

a3

+

a 2 3

a4

+…+

a 2 n

an+1

＜

3

2

对于任意的n∈N^*都成立，并对你给出的结果进行验证（或证明）；
（Ⅱ）若bn=(1-

an

an+1

)

1

an+1

，其中n∈N^*，且记数列{b_n}的前n项和B_n，证明：0≤B_n＜2．

Answer 1

分析：（I）令

a 2 1

a2

=1，

a 2 2

a3

=

1

3

，

a 2 3

a4

=

1

32

，…，

a 2 n

an+1

=

1

3n-1

，则无穷数列{a_n}可由a₁=1，a_n+1=3^n-1a_n²（n≥1）给出，显然，该数列满足a₁=1，a_n≤a_n+1（n∈N^*），利用等比数列求和也满足条件；
（II）根据a_n≤a_n+1可得，∴b_n≥0，则B_n=b₁+b₂+…+b_n≥0，将bn=(1-

an

an+1

)

1

an+1

=

an

an+1

(

1

an

-

1

an+1

)转化成
(

1

an

-

1

an+1

)(

an an+1

+

an

an+1

)≤2(

1

an

-

1

an+1

)，然后叠加可得结论．

解答：（Ⅰ）解：令

a 2 1

a2

=1，

a 2 2

a3

=

1

3

，

a 2 3

a4

=

1

32

，…，

a 2 n

an+1

=

1

3n-1

，
则无穷数列{a_n}可由a₁=1，a_n+1=3^n-1a_n²（n≥1）给出．
显然，该数列满足a₁=1，a_n≤a_n+1（n∈N^*），
且

a 2 1

a2

+

a 2 2

a3

+…+

a 2 n

an+1

=1+

1

3

+…+

1

3n-1

=

3

2

(1-

1

3n

)＜

3

2

------------------（6分）
（Ⅱ）证明∵bn=(1-

an

an+1

)

1

an+1

，an≤an+1，∴b_n≥0．
∴B_n=b₁+b₂+…+b_n≥0．-------------------------（8分）
又bn=(1-

an

an+1

)

1

an+1

=

an

an+1

(

1

an

-

1

an+1

)
=

an

an+1

(

1

an

-

1

an+1

)(

1

an

+

1

an+1

)
=(

1

an

-

1

an+1

)(

an an+1

+

an

an+1

)≤2(

1

an

-

1

an+1

)．
∴Bn≤2(

1

a1

-

1

an+1

)＜

2

a1

=2．
∴0≤B_n＜2．--------------------------------（14分）

点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及数列的函数特性和求和，同时考查了转化的思想和计算能力，属于中档题．