Question

20．已知函数$f（x）=2{cos^2}（x-\frac{π}{4}）-\sqrt{3}$cos2x+1，
（1）求f（x）的图象的对称轴方程；
（2）求f（x）在$[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值；
（3）若对任意实数x，不等式|f（x）-m|＜2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简f（x）的解析式，求出函数的对称轴即可；
（2）降幂后利用两角差的正弦函数化积，然后利用x的取值范围求得函数的最大值和最小值；
（3）不等式|f（x）-m|＜2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，转化为m-2＜f（x）＜m+2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，进一步转化为m-2，m+2与函数f（x）在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上的最值的关系，列不等式后求得实数m的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=2cos²（x-$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{3}$cos2x+1
=cos（2x-$\frac{π}{2}$）-$\sqrt{3}$cos2x+2=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+2=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2，
对称轴方程是$x=\frac{k}{2}π+\frac{5}{12}π（k∈Z）$；
（2）由（1）得：f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2．
∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$，即x=$\frac{π}{4}$时，f_min（x）=3．
当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{5π}{12}$时，f_max（x）=4；
（3）|f（x）-m|＜2?m-2＜f（x）＜m+2，
∵对任意实数x，不等式|f（x）-m|＜2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-2{＜f（x）}_{min}}\\{m+2{＞f（x）}_{max}}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{m-2＜3}\\{m+2＞4}\end{array}\right.$，解得：2＜m＜5．
故m的取值范围为（2，5）．

点评 本题考查了三角函数倍角公式，两角差的正弦公式，考查了三角函数最值的求法，考查了数学转化思想方法，关键是把不等式恒成立问题转化为含m的代数式与f（x）的最值关系问题，是中档题．