本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
(1)根据
是函数
的极值点,得到在该点处的导数值为零得到参数a的值。
(2)函数
的图象上任意一点处切线的斜率
恒成立,则利用导数恒小于等于2.5求解实数a的取值范围;
(3)因为函数
在
上有两个零点,则利用导数来分析函数的单调性,得到极值与x轴的位置关系,得到结论。
解:
------------------2分
(1)
且
---------4分
(2)
对任意的
恒成立 -----------5分
对任意的
恒成立
而当
时,
取最大值为1,
,且
,
--------------------7分
(3)
,且
;
或
;
在
和
上递增;而在
上递减。 ----8分
当
时
i)
,则
在
上递增,
在
上不可能有两个零点。-9分
ii)
,则
在
上递减,而在
上递增。
在
上有极小值(也就是最小值)
而
时,
在
上有两个零点。---------------------12分
iii)
,则
在
上递减,
在
上不可能有两个零点。--13分
综上所述:
-------------------14分