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已知函数,其中
(1)若是函数的极值点,求实数a的值;
(2)若函数的图象上任意一点处切线的斜率恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若函数上有两个零点,求实数a的取值范围.
(1)
(2)
(3)
本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
(1)根据是函数的极值点,得到在该点处的导数值为零得到参数a的值。
(2)函数的图象上任意一点处切线的斜率恒成立,则利用导数恒小于等于2.5求解实数a的取值范围;
(3)因为函数上有两个零点,则利用导数来分析函数的单调性,得到极值与x轴的位置关系,得到结论。
解:
      ------------------2分
(1)          ---------4分
(2)对任意的恒成立      -----------5分
对任意的恒成立   
 
而当时,取最大值为1,
,且        --------------------7分
(3),且

上递增;而在上递减。 ----8分

i),则上递增,上不可能有两个零点。-9分
ii),则上递减,而在上递增。      
上有极小值(也就是最小值)

    
时,上有两个零点。---------------------12分
iii),则上递减,上不可能有两个零点。--13分
综上所述:            -------------------14分
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