Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点F₁（-2，0），右准线方程x=8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M为右准线上一点，A为椭圆C的左顶点，连接AM交椭圆于点P，求

PM

AP

的取值范围；
（3）圆x²+（y-t）²=1上任一点为D，曲线C上任一点为E，如果线段DE长的最大值为2

5

+1，求t的值．

Answer 1

分析：（1）由题意得，c=2，

a2

c

=8，由此能求出椭圆方程．
（2）设P点横坐标为x₀，则

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1，由-4＜x₀≤4，知

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1≥

1

2

．由此能求出

PM

AP

的取值范围．
（3）设圆的圆心为O，因圆的半径为1，故OE的最大值为2

5

，设E（x₀，y₀），则

x

2 0

=16(1-

y02

12

)，OE=

x 2 0 +(y0-t)2

=

16- 4 3 y02+y02-2ty0+t2

，由-2

3

≤y0≤2

3

，能够推导出t=±1．

解答：解：（1）由题意得，c=2，

a2

c

=8得，a²=16，b²=12，
∴所求椭圆方程为

x2

16

+

y2

12

=1．…（5分）
（2）设P点横坐标为x₀，则

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1，…（7分）
∵-4＜x₀≤4，∴

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1≥

1

2

．
∴

PM

AP

的取值范围是[

1

2

，+∞)…（10分）
（3）设圆的圆心为O，因圆的半径为1，因此，OE的最大值为2

5

，
设E（x₀，y₀），则

x02

16

+

y02

12

=1，即

x

2 0

=16(1-

y02

12

)
则OE=

x 2 0 +(y0-t)2

=

16- 4 3 y02+y02-2ty0+t2

=

- 1 3 y02-2ty0+16+t2

=

- 1 3 (y0+3t)2+16+4t2

…（12分）
∵-2

3

≤y0≤2

3

∴当-2

3

≤-3t≤2

3

时，则y₀=-3t时，有OEmax=

16+4t2

=2

5

，得t=±1，满足条件；…（14分）
当-3t＞2

3

时，则y0=2

3

时，有OEmax=

- 1 3 (2 3 +3t)2+16+4t2

=2

5

，得，t=2

3

±2

5

，但均不满足条件，所以无解；
当-3t＜-2

3

时，同理可得无解．…（16分）
所以，t=±1．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．