Question

求下列函数的值域
（1）y=

1

sin2x

+

4

cos2x

；
（2）y=x-

1-x2

；
（3）y=

2x+4

x-1

x∈[0，3]且x≠1；
（4）y=

x+4 x-4

-

x-4 x-4

．

Answer 1

分析：（1）把函数转化成关于tanx的函数，进而求值域．
（2）令因为1-x²≥0，即-1≤x≤1，故可x=sinx，把函数转化成三角函数，利用三角函数的性质求函数的最值．
（3）把原式变成2+

6

x-1

，设t=

6

x-1

，通过幂函数t的图象即可求出t的值域，进而求出函数y=

2x+4

x-1

的值域．
（4）令t=x-4，即x=t+4代入原函数．得出y关于t的函数，进而求出答案．

解答：解：（1）∵y=

1

sin2x

+

4

cos2x

=

sin2x+cos2x

sin2x

+

4sin2x +4cos2x

cos2x

=1+

1

tan2x

+4tanx+4
=5+

1

tan2x

+4tan²x≥2

1 tanx

2tanx

+5≥9
∴函数y=

1

sin2x

+

4

cos2x

的值域为[9，+∞）

（2）令x=sinα，α∈[-

π

2

，

π

2

]
∴y=x-

1-x2

=sinα-cosα=

2

sin（α-

π

4

）
∵α∈[-

π

2

，

π

2

]∴α-

π

4

∈[-

3π

4

，

π

4

]∴sin（α-

π

4

）∈[-1，

2

2

]
∴y=x-

1-x2

的值域为[-

2

，1]

（3）y=

2x+4

x-1

=2+

6

x-1

令t=

6

x-1

，则其函数图象如下
如图可知函数在区间[0，1）单调减，在区间（1，3]单调增
∴t∈（-∝，-6]∪[3，+∝）
∴y∈（-∝，-4]∪[5，+∝）
即函数y=

2x+4

x-1

的值域为（-∝，-4]∪[5，+∝）
（4）设t=x-4，x=4+t
则y=

x+4 x-4

-

x-4 x-4

=

t+4+4 t

-

t+4- 4 t

=

( t +2)2

-

( t -2)2

=|

t

+2|-|

t

-2|
∵t=x-4≥0
∴

t

≥0
∴y=

4，( t ≥2 ) 2 t  (0≤ t ≤ 2)

∴y∈[0，4]
即函数y=

x+4 x-4

-

x-4 x-4

的值域为[0，4]

点评：本题主要考查求函数的值域问题．此类题常用换元、配方、数形结合等方法．