Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2BC=4，CD=3，E为AB中点，过E作EF⊥CD，垂足为F，（如图一），将此梯形沿EF折起，使得平面ADFE垂直于平面FCBE，（如图二）．
（1）求证：BF∥平面ACD；
（2）求多面体ADFCBE的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）先证明BCFE为正方形，AE和DF都垂直于平面BCFE，设O是正方形BCFE的中心，取AC得中点为H，证明四边形OHDF为矩形，OF平行于DH，再由直线和平面平行的判定定理可得OF∥平面ACD，即BF∥平面ACD．
（2）把多面体ADFCBE分成两个棱锥：三棱锥A-BCE 和四棱锥C-AEFD，分别求出 V_A-BCE和 V_C-AEFD 的值，相加即得所求．
解答：解：（1）证明：∵直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2BC=4，CD=3，E为AB中点，EF⊥CD，垂足为F，∴BCFE为正方形．
设BF和CE的交点为O，则O是正方形BCFE的中心．
再由平面ADFE垂直于平面FEBC，可得AE和DF都垂直于平面BCFE．
取AC得中点为H，则由三角形的中位线性质可得OH平行且等于AE的一半，故OH平行且等于DF，故四边形OHDF为矩形，故OF平行于DH．
再由DH?平面ACD，OF不在平面ACD内，故OF∥平面ACD，即BF∥平面ACD．
（2）把多面体ADFCBE分成两个棱锥：三棱锥A-BCE 和四棱锥C-AEFD，
由题意可得CF⊥平面AEFD，AE⊥平面BCFE．
∴V_A-BCE=S_△BCE•AE=××BC•BE•AE==．
V_C-AEFD=×S_AEFD•CF=×（AE+DF）•EF•CF=×（2+1）×2×2=2，
故多面体ADFCBE的体积为 V_A-BCE+V_C-AEFD=+2=．
点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，用“分割法”求棱锥的体积，属于中档题．