Question

（2013•徐汇区一模）已知各项均为正数的等比数列{a_n}的首项a₁=1，公比为q，前n项和为S_n，若

lim

n→∞

Sn+1

Sn

=1，则公比为q的取值范围是

（0，1]

．

Answer 1

分析：根据等比数列的前n项和公式S_n，S_n+1列出关于q的表达式，利用条件

lim

n→+∞

Sn+1

Sn

=1，分类讨论然后求解即可得到答案．

解答：解：当q=1的情况，S_n+1=（n+1）a₁，所以

lim

n→+∞

Sn+1

Sn

=

n+1

n

=1成立，
当q≠1是的情况，Sn=

a1(1-qn)

1-q

，所以

lim

n→+∞

Sn+1

Sn

=

1-qn+1

1-qn

可以看出当q为小于1的分数的时候

lim

n→+∞

Sn+1

Sn

=1成立，
故答案为（0，1]．

点评：本题的考点是数列的极限，此主要考查极限及其运算，其中涉及到等比数列前n项和的求法，要分类讨论求解．属于综合题目有一定的计算量．