Question

设点P在曲线y=x²上，从原点向A（2，4）移动，如果直线OP，曲线y=x²及直线x=2所围成的面积分别记为S₁、S₂．
（Ⅰ）当S₁=S₂时，求点P的坐标；
（Ⅱ）当S₁+S₂有最小值时，求点P的坐标和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可考虑用定积分求两曲线围成的封闭图形面积，直线OP的方程为y=tx，则S₁为直线OP与曲线y=x²
当x∈（0，t）时所围面积，所以，S₁=∫₀^t（tx-x²）dx，S2为直线OP与曲线y=x²当x∈（t，2）时所围面积，所以，
S₂=∫_t²（x²-tx）dx，再根据S₁=S₂就可求出t值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求当S₁+S₂，化简后，为t的三次函数，再利用导数求最小值，以及相应的x值，就可求出P点坐标为多少时，S₁+S₂有最小值．

解答：解：（Ⅰ）设点P的横坐标为t（0＜t＜2），则P点的坐标为（t，t2），
直线OP的方程为y=tx                                 
S₁=∫₀^t（tx-x²）dx=

1

6

t3，S₂=∫_t²（x²-tx）dx=

8

3

-2t+

1

6

t3，
因为S₁=S₂，，所以t=

4

3

，点P的坐标为（

4

3

，

16

9

）            
S=S₁+S₂=

1

6

t3+

8

3

-2t+

1

6

t3=

1

3

t3-2t+

8

3

  S^′=t²-2，令S'=0得t²-2=0，t=

2

              
 因为0＜t＜

2

时，S'＜0；

2

＜t＜2时，S'＞0                
所以，当t=

2

时，S_min=

8-4 2

3

，P点的坐标为 （

2

，2）．

点评：本题考查了用定积分求两曲线所围图形面积，以及导数求最值，做题时应认真分析．