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    （2012•资阳三模）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2n+1数列{bn}满足bn=log2
    an
    n+1
    ，其中n∈N*．
    （I）求数列{an}通项公式；
    （II）求使不等式（1+
    1
    b1
    ）•（1+
    1
    b3
    ）…（1+
    1
    b2n-1
    ）≥m•
    		b2n+1
    对任意正整数n都成立的最大实数m的值；
    （III）当n∈N*时，求证
    C
    0
    n
    b1
    +
    C
    1
    n
    b3
    +L+
    C
    n-1
    n
    b2n-1
    +
    C
    n
    n
    b2n+1
    ≤
    an
    b2n+1
    ．
    分析：（Ⅰ）根据数列递推式，确定数列是数列{
    an
    2n
    }是公差为1的等差数列，将a1=4代入便可求出数列{an}的通项公式；
    （II）问题可转化为m≤
    (1+1)•(1+
    1
    3
    )…(1+
    1
    2n-1
    )
    		2n+1
    对任意正整数n都成立，求出右边函数的最大值，即可求得m的最大值；
    （III）欲证
    C
    0
    n
    b1
    +
    C
    1
    n
    b3
    +…+
    C
    n-1
    n
    b2n-1
    +
    C
    n
    n
    b2n+1
    ≤
    an
    b2n+1
    ，只要证
    C
    0
    n
    1
    +
    C
    1
    n
    3
    +…+
    C
    n-1
    n
    2n-1
    +
    C
    n
    n
    2n+1
    ≤2n•
    n+1
    2n+1
    ，利用
    C
    i
    n
    2i+1
    +
    C
    n-i
    n
    (2n+2)-(2i+1)
    =
    C
    i
    n
    2i+1
    +
    C
    n-i
    n
    (2n+1)-2i
    ≤
    (2n+2
    )C
    i
    n
    2n+1
    ，即可证得结论．
    解答：（Ⅰ）解：由Sn=2an-2n+1，得Sn-1=2an-1-2n（n≥2）．
    两式相减，得an=2an-2an-1-2n，即an-2an-1=2n（n≥2）．
    于是
    an
    2n
    -
    an-1
    2n-1
    =1，所以数列{
    an
    2n
    }是公差为1的等差数列．
    又S1=a1=2a1-22，所以a1=4．
    所以
    an
    2n
    =2+（n-1）=n+1，故an=（n+1）•2n
    （II）∵bn=log2
    an
    n+1
    =log22n=n
    ∴（1+
    1
    b1
    ）•（1+
    1
    b3
    ）…（1+
    1
    b2n-1
    ）≥m•
    		b2n+1
    即为（1+1）•（1+
    1
    3
    ）…（1+
    1
    2n-1
    ）≥m•
    		2n+1

    ∴m≤
    (1+1)•(1+
    1
    3
    )…(1+
    1
    2n-1
    )
    		2n+1
    对任意正整数n都成立
    令f（n）=
    (1+1)•(1+
    1
    3
    )…(1+
    1
    2n-1
    )
    		2n+1
    ，则f（n+1）=
    (1+1)•(1+
    1
    3
    )…(1+
    1
    2n-1
    )(1+
    1
    2n+1
    )
    		2n+3

    ∴
    f(n+1)
    f(n)
    =
    2n+2
    		2n+1
    •
    		2n+3
    =
    4n2+4n+4
    4n2+8n+3
    ＞1
    ∴f（n）单调递增，故f（n）≥f（1）=
    2
    		3
    3

    ∴m≤
    2
    		3
    3

    ∴m的最大值为
    2
    		3
    3
    ；
    （III）证明：欲证
    C
    0
    n
    b1
    +
    C
    1
    n
    b3
    +…+
    C
    n-1
    n
    b2n-1
    +
    C
    n
    n
    b2n+1
    ≤
    an
    b2n+1

    只要证
    C
    0
    n
    1
    +
    C
    1
    n
    3
    +…+
    C
    n-1
    n
    2n-1
    +
    C
    n
    n
    2n+1
    ≤2n•
    n+1
    2n+1

    ∵
    C
    i
    n
    2i+1
    +
    C
    n-i
    n
    (2n+2)-(2i+1)
    =
    C
    i
    n
    2i+1
    +
    C
    n-i
    n
    (2n+1)-2i
    ≤
    (2n+2
    )C
    i
    n
    2n+1

    ∴
    C
    0
    n
    1
    +
    C
    1
    n
    3
    +…+
    C
    n-1
    n
    2n-1
    +
    C
    n
    n
    2n+1
    =
    1
    2
    [（
    C
    0
    n
    1
    +
    C
    1
    n
    3
    +…+
    C
    n-1
    n
    2n-1
    +
    C
    n
    n
    2n+1
    ）+（
    C
    n-1
    n
    2n-1
    +
    C
    n
    n
    2n+1
    +…+
    C
    0
    n
    1
    +
    C
    1
    n
    3
    ）]≤
    1
    2
    ×
    2n+2
    2n+1
    (C
    0
    n
    +
    C
    1
    n
    +…+
    C
    n
    n
    )    =2n•
    n+1
    2n+1

    ∴
    C
    0
    n
    1
    +
    C
    1
    n
    3
    +…+
    C
    n-1
    n
    2n-1
    +
    C
    n
    n
    2n+1
    ≤2n•
    n+1
    2n+1
    ．
    点评：本题数列递推式，考查数列的通项，考查恒成立问题，考查不等式的证明，正确分离参数是关键．
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