Question

11．椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{2}=1$的焦点为F₁，F₂，点P在椭圆上，若|PF₁|=4，则|PF₂|=4；${S_{△P{F_1}{F_2}}}$的大小为4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 第一问用定义法，由|PF₁|+|PF₂|=6，且|PF₁|=4，易得|PF₂|；第二问如图所示：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解得∠F₁PF₂=120°，再利用面积公式即可．

解答 解：∵|PF₁|+|PF₂|=2a=6，
∴|PF₂|=6-|PF₁|=2．
在△F₁PF₂中，cos∠F₁PF₂=$\frac{16+4-28}{2×4×2}$=-$\frac{1}{2}$，
∴∠F₁PF₂=120°
∴${S_{△P{F_1}{F_2}}}$=$\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$．
故答案为：2；4$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，这类题是常考类型，难度不大，考查灵活，特别是对曲线的定义和性质考查的很到位．