Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）P（2，3），Q（2，-3）是椭圆上两点，A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点，
（ i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；
（ ii）当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）设C方程为，则．
由，得a=4
∴椭圆C的方程为．…（4分）
（Ⅱ）（ i）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为，
代入，得x²+tx+t²-12=0
由△＞0，解得-4＜t＜4…（6分）
由韦达定理得x₁+x₂=-t，x₁x₂=t²-12．
四边形APBQ的面积
∴当t=0，．…（8分）
（ ii）解：当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k
则PB的斜率为-k，PA的直线方程为y-3=k（x-2）
由
（1）代入（2）整理得（3+4k²）x²+8（3-2k）kx+4（3-2k）²-48=0…（10分）
同理PB的直线方程为y-3=-k（x-2），可得
∴…（12分）
所以AB的斜率为定值．…（14分）
分析：（I）根据椭圆C的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于 ．易求出a，b的值，得到椭圆C的方程．
（Ⅱ）（ i）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得四边形APBQ的面积，从而解决问题．
（ ii）设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，PA的直线方程为y-3=k（x-2）将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得x₁+2，同理PB的直线方程为y-3=-k（x-2），可得x₂+2，从而得出AB的斜率为定值．
点评：本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键．