【题目】设函数
(1)求的单调区间;
(2)证明:曲线不存在经过原点的切线.
【答案】(1)时, 在区间及内单调递增,在内单调递减; 时, 在内单调递增;(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)研究单调区间,先求导数,接着研究的正负,按或分类可得结论;(2)否定性命题,可用反证法,即假设曲线在点处的切线经过原点,则,即,下面只要证明这个方程无实数解即可,这又要化简此方程,然后用导数研究函数得结论.
试题解析:(1)的定义域为, .
令,得,
当,即时, ,∴在内单调递增,
当,即时,由解得
, ,且,
在区间及内, ,在内, ,
∴在区间及内单调递增,在内单调递减.
(2)假设曲线在点处的切线经过原点,
则有,即,
化简得: (*)
记,则,
令,解得.
当时, ,当时, ,
∴是的最小值,即当时, .
由此说明方程(*)无解,∴曲线没有经过原点的切线.
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【题目】从12件同类产品中(其中10件正品,2件次品),任意抽取6件产品,下列说法中正确的是( )
A. 抽出的6件产品必有5件正品,1件次品
B. 抽出的6件产品中可能有5件正品,1件次品
C. 抽取6件产品时,逐个不放回地抽取,前5件是正品,第6件必是次品
D. 抽取6件产品时,不可能抽得5件正品,1件次品
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【题目】某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(I)求的分布列;
(II)若要求,确定的最小值;
(III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用哪个?
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【题目】给定函数,若对于定义域中的任意,都有恒成立,则称函数为“爬坡函数”.
(1)证明:函数是爬坡函数;
(2)若函数是爬坡函数,求实数m的取值范围;
(3)若对任意的实数b,函数都不是爬坡函数,求实数c的取值范围.
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【题目】下列命题中是公理的是
A. 在空间中,如果两个角的两条边对应平行,那么这两个角相等或互补
B. 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直
C. 平行于同一条直线的两条直线平行
D. 如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行
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【题目】某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为40元,出厂单价为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100件时,每多订购一件,订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元,根据市场调查,销售商一次订购量不会超过500件.
(1)设一次订购量为件,服装的实际出厂单价为元,写出函数的表达式;
(2)当销售商一次订购多少件服装时,该服装厂获得的利润最大?并求出最大值.
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【题目】(1)求不等式a2x﹣1>ax+2(a>0,且a≠1)中x的取值范围(用集合表示).
(2)已知是定义在R上的奇函数,且当时, ,求函数的解析式.
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【题目】为庆祝国庆,某中学团委组织了“歌颂祖国,爱我中华”知识竞赛,从参加考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(成绩均为整数)分成六段,,…,后画出如图的部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:
(1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图;
(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分;
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