Question

设

a

=(cosx，1)，

b

=(sinx，2)
（1）若

a

∥

b

，求（sinx+cosx）²的值
（2）若f(x)=(

a

-

b

)•

a

，求f（x）在[0，π]上的递减区间．

Answer 1

分析：（1）由向量平行的坐标表示可得tanx=2，而（sinx+cosx）²=sin²x+2sinxcosx+cos²x=

1

1+tan2x

(tan2x+2tanx+1)，代入可求
（2）利用向量数量积的坐标表示整理可得，f（x）=-

2

2

sin(2x-

π

4

)-

1

2

，令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，结合[0，π]可求

解答：解：（1）∵

a

∥

b

∴2cosx-sinx=0∴tanx=2
（sinx+cosx）²=sin²x+2sinxcosx+cos²x=cos²x•（tan²x+2tanx+1）=

1

1+tan2x

(tan2x+2tanx+1)=

9

5

（2）f(x)=cos2x-sinxcosx-1=-

2

2

sin(2x-

π

4

)-

1

2

∵2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

∴kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

k∈z
∵x∈[0，π]∴令k=0，1得f（x）在区间[0，π]上的递减区间是[0，

3π

8

]，[

7π

8

，π]

点评：本题主要考查了平面向量数量积的运算，二倍角公式的应用，正弦函数单调区间的求解等知识的简单综合．