Question

设点P（m，n）是以y轴为对称轴，原点为顶点，焦点为（0，1）的抛物线C上的任意一点，过点P作抛物线的切线交抛物线的准线于点A（s，t）．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若m∈[1，4]，求s的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得

p

2

=1，可得p=2，可得方程；（2）求导数可得切线斜率，可得切线方程和准线方程，可得s=

m

2

-

2

m

，可得s在[1，4]单调递增，进而可得答案．

解答：解：（1）由题意可得

p

2

=1，可得p=2，故可得方程为：x²=4y…（4分）
（2）过P（m，n）的切线斜率k=y′|x=m=

1

2

m．
∴切线方程为y-n=

1

2

m(x-m)，准线方程为y=-1． …（8分）
∴-1-

1

4

m2=

1

2

ms-

1

2

m2．解得s=

m

2

-

2

m

． …（12分）
由函数的性质可得s在[1，4]单调递增，
∴smin=-

3

2

，smax=

3

2

．
∴s的取值范围是-

3

2

≤s≤

3

2

．             …（15分）

点评：本题考查抛物线的简单性质，涉及函数的单调性，属中档题．