Question

抛物线x²=2py（p＞0）过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，O为原点，若△AOB面积最小值为8．
（1）求P值
（2）过A点作抛物线的切线交y轴于N，

FM

=

FA

+

FN

，则点M在一定直线上，试证明之．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）抛物线x²=2py的焦点F(0，

p

2

)，设直线l方程为y=kx+

p

2

，与抛物线方程联立可得x²-2pkx-p²=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），S_△AOB=S_△AOF+S_△BOF=

1

2

|OF|•|x1-x2|=

p2

2

k2+1

≥

p2

2

，即可得出．
（2）由x²=8y，利用导数可得y′=

x

4

，过A点的切线方程为y=

x1

4

(x-x1)+

x 2 1

8

，可得N（0，-y₁），设M（x，y），又F（0，2），利用

FM

=

FA

+

FN

，可得

x=x1 y=-2

，即可证明．

解答： （1）解：∵抛物线x²=2py的焦点F(0，

p

2

)，
∴设直线l方程为y=kx+

p

2

，
由

x2=2py y=kx+ p 2

，消去y得x²-2pkx-p²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
S_△AOB=S_△AOF+S_△BOF=

1

2

|OF|•|x1|+

1

2

|OF|•|x2|=

1

2

|OF|•|x1-x2|
=

P

4

•

4p2k2+4p2

=

p2

2

k2+1

≥

p2

2

，当k=0的等号成立，
∴S_△AOB面积的最小值为

p2

2

，
∴

p2

2

=8，
∵p＞0，∴p=4．
（2）证明：∵x²=8y，∴y′=

x

4

，
∴过A点的切线方程为y=

x1

4

(x-x1)+

x 2 1

8

，
即y=

1

4

x1x-

1

8

x

2 1

=

1

4

x1x-y1，
∴N（0，-y₁），
设M（x，y），
又∵F（0，2），
∴

FM

=（x，y-2），

FA

=（x₁，y₁-2），

FN

=（0，-y₁-2），
∵

FM

=

FA

+

FN

，
∴

x=x1 y-2=y1-2-y1-2

，
得

x=x1 y=-2

，
∴M点在直线y=-2上．

点评：本题考查了直线与抛物线相交相切问题、弦长公式、三角形的面积计算公式、向量坐标运算、切线方程、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．