Question

9．求函数y=$\frac{2x^2+2x+5}{x^2+x+1}$的值域．

Answer 1

分析 可将原函数变成$y=2+\frac{3}{{x}^{2}+x+1}$，可配方${x}^{2}+x+1=（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}$，这样便可得出y的范围，即得出原函数的值域．

解答 解：y=$\frac{2（{x}^{2}+x+1）+3}{{x}^{2}+x+1}=2+\frac{3}{{x}^{2}+x+1}$；
${x}^{2}+x+1=（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}$；
∴$0＜\frac{1}{{x}^{2}+x+1}≤\frac{4}{3}$；
∴2＜y≤6；
∴原函数的值域为（2，6]．

点评 考查函数值域的概念，分离常数法在求值域中的运用，配方法求函数的范围，不等式的性质．