Question

定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ，（λ∈R，使得对任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），则称y=f（x）为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，下列命题：
①函数f（x）=2x+11是倍增函数，且λ=1倍增系数；
②若函数y=f（x）是倍增系数λ=-1的倍增函数，则y=f（x）至少有1个零点；
③函数f（x）=e^-x是倍增函数，且倍增系数λ∈（0，1）．
其中为真命题的是______．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

∵f（x）=2x+11是倍增函数，
∴2（x+λ）+11=λ（2x+11），
∴λ=

2x+11

2x+9

≠1，故①不正确；
∵函数y=f（x）是倍增系数λ=-1的倍增函数，
∴f（x-1）=-f（x），
当x=0时，f（-1）+f（0）=0，
若f（0），f（-1）任一个为0，函数f（x）有零点．
若f（0），f（-1）均不为零，则f（0），f（-1）异号，
由零点存在定理，在（-1，0）区间存在x₀，f（x₀）=0，
即y=f（x）至少有1个零点，故②正确；
∵f（x）=e^-x是倍增函数，
∴e^-（x+λ）=λe^-x，
∴

1

ex•eλ

=

λ

ex

，
∴λ=

1

eλ

∈（0，1），故③正确．
故答案为：②③．