Question

（2013•湖南）已知F₁，F₂分别是椭圆E：

x2

5

+y2=1的左、右焦点F₁，F₂关于直线x+y-2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设过点F₂的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b．当ab最大时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）由题意可知：F₁（-2，0），F₂（2，0），可得⊙C的半径为2，圆心为原点O关于直线x+y-2=0的对称点．设圆心的坐标为（m，n）．利用线段的垂直平行的性质可得

n m =1 m 2 + n 2 -2=0

，解出即可得到圆的方程；
（II））由题意，可设直线l的方程为x=my+2，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线l的距离d=

|2m|

1+m2

，再利用弦长公式即可得到b=2

r2-d2

．把直线l的方程为x=my+2与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得到a，进而得到ab，利用基本不等式的性质即可得出结论．

解答：解：（I）由题意可知：F₁（-2，0），F₂（2，0）．故⊙C的半径为2，圆心为原点O关于直线x+y-2=0的对称点．设圆心的坐标为（m，n）．则

n m =1 m 2 + n 2 -2=0

，解得

m=2 n=2

．
∴圆C的方程为（x-2）²+（y-2）²=4；
（II）由题意，可设直线l的方程为x=my+2，则圆心到直线l的距离d=

|2m|

1+m2

，
∴b=2

22-d2

=

4

1+m2

．
由

x=my+2 x2+5y2=5

得（5+m²）y²+4my-1=0．
设l与E的两个交点分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
则y1+y2=-

4m

5+m2

，y1y2=

-1

5+m2

．
∴a=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(1+m2)[ 16m2 (5+m2)2 + 4 m2+5 ]

=

2 5 (m2+1)

m2+5

，
∴ab=

8 5 m2+1

m2+5

=

8 5

m2+1 + 4 m2+1

≤

8 5

2 m2+1 • 4 m2+1

=2

5

．
当且仅当

m2+1

=

4

m2+1

，即m=±

3

时等号成立．
故当m=±

3

时，ab最大，此时，直线l的方程为x=±

3

y+2，即x±

3

y-2=0．

点评：本题综合考查了圆与椭圆的标准方程及其性质、轴对称的性质、圆的弦长公式b=2

r2-d2

、直线与椭圆相交的弦长公式a=

(1+ 1 k2 )

|y1-y2|、基本不等式的性质等基础知识与方法，需要较强的推理能力、计算能力、分析问题和解决问题的能力．．