Question

已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），点P是点F关于y轴的对称点，过点P的动直线ι交抛物线与A，B两点．
（1）若△AOB的面积为

5

2

，求直线ι的斜率；
（2）试问在x轴上是否存在不同于点P的一点T，使得TA，TB与x轴所在的直线所成的锐角相等，若存在求出定点T的坐标，若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（1）易求抛物线方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设l：y=k（x+1）（k≠0），代入抛物线方程消掉y得x的二次方程，韦达定理、弦长公式及三角形面积公式可表示出△AOB的面积，令其为

5

2

，解出k即可；
（2）假设存在T（a，0）满足题意，由题意可得k_AT+k_BT=0，整理为关于点A、B横坐标的等式，代入韦达定理可得关于a的方程，解出即a值可作出判断；

解答：（1）由题意知：抛物线方程为：y²=4x且P（-1，0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知直线l斜率存在，设l：y=k（x+1）（k≠0），代入y²=4x得，k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
由△＞0得-1＜k＜1，

x1+x2=- 2k2-4 k2 x1x2=1

，
|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

，h=

|k|

1+k2

，
由

1

2

|AB|h=

5

2

，得k=±

4 41

41

，满足△＞0，
（2）假设存在T（a，0）满足题意，
因为TA，TB与x轴所在的直线所成的锐角相等，
所以直线TA，TB的斜率之和为0，则
kAT+kBT=

y1

x1-a

+

y2

x2-a

=

k(x1+1)(x2-a)+k(x2+1)(x1-a)

(x1-a)(x2-a)

=

k[2x1x2-(a-1)(x1+x2)-2a]

(x1-a)(x2-a)

=0，
∴k[2x₁x₂-（a-1）（x₁+x₂）-2a]=0，即k[2-(a-1)

4-2k2

k2

-2a]=0，
整理得：a-1=0，解得a=1，
∴存在T（1，0）．

点评：本题考查直线的斜率、抛物线方程及直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，存在性问题，往往先假设存在，然后由此进行推导，无矛盾则存在，否则不存在．