Question

17．设A、B、C为△ABC的三个内角，$\overrightarrow{m}$=（sinB+sinC，0），$\overrightarrow{n}$=（0，sinA），且|$\overrightarrow{m}$|²-|$\overrightarrow{n}$|²=sinBsinC．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2$\sqrt{3}$，三角形的面积为S=$\sqrt{3}$，求b+c的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的模长公式，结合正弦定理、余弦定理，即可求角A的大小；
（2）利用三角形面积公式解得：bc=4，由余弦定理即可求得b+c的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（sinB+sinC，0），$\overrightarrow{n}$=（0，sinA），且|$\overrightarrow{m}$|²-|$\overrightarrow{n}$|²=sinBsinC．
∴（sinB+sinC）²-sin²A=sinBsinC，
∴sin²B+sin²C-sin²A=-sinBsinC
由正弦定理可得b²+c²-a²=-bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{-bc}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{2π}{3}$；
（2）∵S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bc×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴即解得：bc=4，
∴由余弦定理可求得：12=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-bc=（b+c）²-4，
∴b+c=4．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角函数的化简与求值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．