Question

2．已知f（x）=x+xlnx，若k（x-2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，则整数k的最大值是（　　）

• A． 8
• B． 6
• C． 5
• D． 4

Answer 1

分析 问题转化为k＜$\frac{f（x）}{x-2}$=$\frac{x+xlnx}{x-2}$；令F（x）=$\frac{x+xlnx}{x-2}$，根据函数的单调性得到存在x₀∈（8，9），使g（x₀）=0，即2lnx₀=x₀-4；求出F（x）的最小值，从而求出k的最大值即可．

解答 解：∵x＞2，
∴k（x-2）＜f（x）可化为k＜$\frac{f（x）}{x-2}$=$\frac{x+xlnx}{x-2}$；
令F（x）=$\frac{x+xlnx}{x-2}$，
则F′（x）=$\frac{x-2lnx-4}{{（x-2）}^{2}}$；
令g（x）=x-2lnx-4，则g′（x）=1-$\frac{2}{x}$＞0，
故g（x）在（2，+∞）上是增函数，
且g（8）=8-2ln8-4=2（2-ln8）＜0，g（9）=9-2ln9-4=5-2ln9＞0；
故存在x₀∈（8，9），使g（x₀）=0，即2lnx₀=x₀-4；
故F（x）在（2，x₀）上是减函数，在（x₀，+∞）上是增函数；
故F_min（x）=F（x₀）=$\frac{{x}_{0}{+x}_{0}•\frac{{x}_{0}-4}{2}}{{x}_{0}-2}$=$\frac{{x}_{0}}{2}$；
故k＜$\frac{{x}_{0}}{2}$；
故k的最大值是4；
故选：D．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数零点判定定理的应用，属于中档题．