Question

（Ⅰ）已知矩阵，△ABC的顶点为A（0，0），B（2，0），C（1，2），求△ABC在矩阵M^-1的变换作用下所得△A′B′C′的面积．
（Ⅱ）极坐标的极点是直角坐标系原点，极轴为X轴正半轴，直线l的参数方程为．
（t为参数）．⊙O的极坐标方程为ρ=2，若直线l与⊙O相切，求实数x的值．
（Ⅲ）已知a，b，c∈R⁺，且，求a+2b+3c的最小值及取得最小值时a，b，c的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由M•M^-1=E，可得M^-1，求出变换作用下的A′，B′，C′的坐标，利用余弦公式求出三角形一个角，得∠A是直角，由面积公式求出面积．
（2）利用已知条件，求出在直角坐标系中直线1与⊙0的方程，发现其分别为直线和圆，根据相切原理，知圆心O（0，0）到直线L的距离为2，又根据求距离公式，即可求出x．
（3）根据柯西不等式，即可解答．
解答：解：（1）由M•M^-1=E，可得，（3分）
，，，
∴变换作用下得A’（0，0），B‘（2，-2），C’（3，3），（5分）

故.，（7分）
（2）解：直线L的普通方程为，（2分）
⊙0的直角坐标方程为x²+y²=4．（4分）
∵直线L与⊙0相切
∴圆心O（0，0）到直线L：的距离为2．
即，解得．（7分）
（3）解：由柯西不等式得
．（5分）
又，∴a+2b+3c≥18．当且仅当，
即a=b=c=3时等式成立．
∴当a=b=c=3时，a+2b+3c取得最小值18．（7分）
点评：本题主要考查矩阵、逆矩阵、矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．