Question

在数列{a_n}中，a₁=-

1

2

，2a_n=a_n-1-n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）证明：数列{n+a_n}是等比数列，并求出a_n．
（2）若c_n=（

1

2

）ⁿ-a_n，S_n为数列{

2

cn•cn+1

}的前n项和，求满足s_n＜

1007

504

的最大整数n．

Answer 1

考点：数列递推式,等比关系的确定,数列的求和

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由题意数列a_n中，已知a₁=1，a_n=2a_n-1+n-2，n∈N^*，有递推关系构造新等比数列，利用等比数列的定义即可求数列a_n+n是等比数；
（2）由（1）知c_n=（

1

2

）ⁿ-a_n=n，利用裂项相消法，求出S_n，通过解s_n＜

1007

504

得出最大整数n

解答： 解：（1）∵2a_n=a_n-1-n-1（n≥2，n∈N^*）．
∴2（a_n+n）=a_n-1+（n-1）
∴数列{a_n+n}是以a₁+1=

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列；
且a_n+n=（

1

2

）ⁿ，所以a_n=（

1

2

）ⁿ-n．
（2）由（1）知c_n=（

1

2

）ⁿ-a_n=n，
所以

2

cn•cn+1

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
所以
S_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…（

1

n

-

1

n+1

）]=

2n

n+1

，
 由s_n＜

1007

504

，得n＜1007，所以 满足s_n＜

1007

504

的最大整数n为1006．

点评：本题是数列与不等式的结合，考查了构造新等比数列，还考查了利用裂项相消法求数列的前n项的和．