Question

已知点M，N分别在直线y=mx和y=-mx(m>0)上运动，点P是线段MN的中点，且|MN|=2，动点P的轨迹是曲线C，
(1)求曲线C的方程，并讨论方程所表示的曲线类型；
(2)设m=时，过点A(-，0)的直线l与曲线C恰有一个公共点，求直线l的斜率．

Answer 1

解：(1)设P(x，y)，M(x₁，mx₁)，N(x₂，-mx₂)，
依题意得，
消去x₁，x₂，整理得，
当m>1时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；
当0＜m＜1时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；
当m=1时，方程表示圆．
(2)当m=时，方程为，
设直线l的方程为y=k(x+)，
，消y得，
根据已知可得Δ=0，
故有，
∴直线l的斜率为k=±。