Question

设函数f(x)=cos(2x-

4π

3

)+2cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f(B+C)=

3

2

，b+c=2，求a的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为cos(2x+

π

3

)+1，令 2kπ+π≤2x+

π

3

≤2kπ+2π，k∈z，求得x的范围，即可求得f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由f(B+C)=

3

2

求得cos(2A-

π

3

)=

1

2

，再由A的范围求得A的值．在△ABC中，由余弦定理求得a²=2²-3bc，再利用基本不等式求出a的最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=cos(2x-

4π

3

)+2cos2x=(cos2xcos

4π

3

+sin2xsin

4π

3

)+(1+cos2x)
=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+1=cos(2x+

π

3

)+1，…（2分）
令 2kπ+π≤2x+

π

3

≤2kπ+2π，k∈z，可得 kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，k∈z，
∴f（x）的单调递增区间：[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

](k∈Z)．…（4分）
（Ⅱ）由题意，f(B+C)=cos[2(B+C)+

π

3

]+1=

3

2

，即cos(2π-2A+

π

3

)=

1

2

．
化简得cos(2A-

π

3

)=

1

2

，…（6分）∵A∈（0，π），∴2A-

π

3

∈(-

π

3

，

5π

3

)，
故只有2A-

π

3

=

π

3

，∴A=

π

3

．
在△ABC中，由余弦定理，a2=b2+c2-2bccos

π

3

=(b+c)2-3bc，…（8分）
由b+c=2知 bc≤(

b+c

2

)2=1，即a²≥1，当b=c=1时，a取最小值1．…（10分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性，余弦定理的应用，属于中档题．