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若方程
x2
4-t
+
y2
t-1
=1
所表示的曲线为C,给出下列四个命题:
①若C为椭圆,则1<t<4;
 ②若C为双曲线,则t>4或t<1;
③曲线C不可能是圆;        
④若1<t<
5
2
,曲线C为椭圆,且焦点坐标为
5-2t
,0)

⑤若t<1,曲线C为双曲线,且虚半轴长为
1-t

其中真命题的序号为
②④⑤
②④⑤
.(把所有正确命题的序号都填在横线上)
分析:①若C为椭圆,则
4-t>0
t-1>0
4-t≠t-1
,故1<t<4且t
5
2

②若C为双曲线,则(4-t)(t-1)<0,故t>4或t<1;
③t=
5
2
时,曲线C是圆,;        
④若1<t<
5
2
,曲线C为椭圆,此时焦点在x轴上,由此可得焦点坐标;
⑤若t<1,曲线C为双曲线,此时焦点在x轴上,由此可得虚半轴长为
1-t
解答:解:①若C为椭圆,则
4-t>0
t-1>0
4-t≠t-1
,∴1<t<4且t
5
2
,故①不正确;
②若C为双曲线,则(4-t)(t-1)<0,∴t>4或t<1,故②正确;
③t=
5
2
时,曲线C是圆,故③不正确;        
④若1<t<
5
2
,曲线C为椭圆,此时焦点在x轴上,且焦点坐标为
5-2t
,0)
,故④正确;
⑤若t<1,曲线C为双曲线,此时焦点在x轴上,且虚半轴长为
1-t
,故⑤正确.
综上真命题的序号为②④⑤
故答案为:②④⑤
点评:本题考查圆锥曲线,考查学生分析解决问题的能力,考查计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

方程
x2
4-t
+
y2
t-2
=1
所表示的曲线为C,有下列命题:
①若曲线C为椭圆,则2<t<4;②若曲线C为双曲线,则t>4或t<2;
③曲线C不可能为圆;④若曲线C表示焦点在y上的双曲线,则t>4;
以上命题正确的是
②④
②④
(填上所有正确命题的序号).

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

方程
x2
4-t
+
y2
t-2
=1
所表示的曲线为C,有下列命题:
①若曲线C为椭圆,则2<t<4;②若曲线C为双曲线,则t>4或t<2;
③曲线C不可能为圆;④若曲线C表示焦点在y上的双曲线,则t>4;
以上命题正确的是______(填上所有正确命题的序号).

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