Question

过椭圆

x2

5

+

y2

4

=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为

5

3

．

Answer 1

分析：用点斜式求出直线AB的方程，应用联立方程组求得A、B的坐标，再将△OAB的面积分割成S_△OAB=S_△OFA+S_△OFB，即可求得△OAB的面积的值．

解答：解析：椭圆

x2

5

+

y2

4

=1的右焦点F₂（1，0），故直线AB的方程y=2（x-1），
由

x2 5 + y2 4 =1 y=2(x-1)

，消去y，整理得3x²-5x=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁＜x₂，
则x₁，x₂是方程3x²-5x=0的两个实根，解得x₁=0，x₂=

5

3

，故A（0，-2），B（

5

3

，

4

3

），
故S_△OAB=S_△OFA+S_△OFB=

1

2

×（|-2|+

4

3

）×1=

5

3

．
故答案：

5

3

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，方程思想的应用，将△OAB的面积分割成S_△OAB=S_△OFA+S_△OFB，是解题的关键．