Question

如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，

   

   （I）求多面体ABCDS的体积；

   （II）求AD与SB所成角的余弦值。

   （III）求二面角A—SB—D的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

解析:

（I）多面体ABCDS的体积即四棱锥S—ABCD的体积。

         所以…………4分

   （II）由题可知DA、DA、DC两两互相垂直，

         如图建立空间直角坐标系

        

        

        

         AD与SB所成的角的余弦为…………9分

   （III）设面SBD的一个法向量为

        

         又

         设面SAB的一个法向量为

         …………11分

    ，

         所以所求的二面角的余弦为…………14分

         解法二：（I）同解法一

   （II）矩形ABCD，

         ADBC，即BC=a，

    要求AD与SB所成的角，即求BC与SB所成的角。…………6分

         在中，由（1）知面ABCD。

        

         CD是CS在面ABCD内的射影，且

        

        

         BC与SB所成的角的余弦为

         从而SB与AD的成的角的余弦为…………9分

   （III）

         面ABCD。

         BD为面SDB与面ABCD的交线。

        

         SDB

         于F，连接EF

         从而得：

         为二面角A—SB—D的平面角…………11分

         在矩形ABCD中，对角线

         中，

         由（2）知在

         而

        

         为等腰直角三角形且

        

         ，

         所以所求的二面角的余弦为…………14分