Question

已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使

MP

•

MN

，

PM

•

PN

，

NM

•

NP

成公差小于零的等差数列．
（1）点P的轨迹是什么曲线？
（2）若点P坐标为（x₀，y₀），记θ为

PM

与

PN

的夹角，求tanθ．

Answer 1

分析：（1）设出要求轨迹的点的坐标，根据所给的两个点的坐标写出要用的向量，做出向量的数量积，根据

MP

•

MN

，

PM

•

PN

，

NM

•

NP

成公差小于零的等差数列，列出不等式和等式，整理整式得到结果．
（2）求两个向量的夹角，根据球向量夹角的公式，先用求出数量积和模的乘积，求出角的余弦值，根据同角的三角函数的关系，用已知条件表示出tanθ．

解答：解：（1）记P（x，y），由M（-1，0），N（1，0）得

PM

=-

MP

=（-1-x，-y），

PN

=-

NP

=（1-x，-y），

MN

=-

NM

=（2，0），
∴

MP

•

MN

=2(1+x)，

PM

•

PN

=x2+y2-1，

NM

•

NP

=2(1-x)，
∵

MP

•

MN

，

PM

•

PN

，

NM

•

NP

是公差小于零的等差数列
∴

x2+y2-1= 1 2 [2(1+x)+2(1-x)] 2(1-x)-2(1+x)＜0

即x²+y²=3（x＞0），
∴点P的轨迹是以原点为圆心，

3

为半径的右半圆．
（2）点P的坐标为（x₀，y₀），则x₀²+y₀²=3，

PM

•

PN

=x₀²+y₀²-1=2，
∵|

PM

|•|

PN

|=

(1+x0)2+ y 2 0

•

(1-x0)2+ y 2 0

=

(4+2x0)(4-2x0)

=2

4-2 x 2 0

，
∴cosθ=

PM • PN

| PM |•| PN |

=

1

4- x 2 0

，
∵0＜x0≤

3

，
∴

1

2

＜cosθ≤1，0≤θ＜

π

3

，
sinθ=

1-cos2θ

=

1- 1 4- x 2 0

，
tanθ=

sinθ

cosθ

=

1- 1 4-x02

1 4-x02

=

3-x02

=|y₀|

点评：这是一个综合题，求轨迹的问题，向量的数量积，等差数列的定义，求向量的夹角，同角的三角函数关系，这是一个难题，可以作为高考卷的压轴题．