Question

已知点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)(x₁x₂≠0)是抛物线y²=2px(p＞0)上的两个动点，O是坐标原点，向量,满足|+|=|-|,设圆C的方程为x²+y²-(x₁+x₂)x-(y₁+y₂)y=0.

(Ⅰ)证明线段AB是圆C的直径；

(Ⅱ)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时，求p的值.

Answer 1

(Ⅰ)证法一：∵｜+｜=｜-｜，

∴(+)²=(-)²，∴-=0

∴x₁x₂+y₁y₂=0.

    设点M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则·=0.

    即(x-x₁)·(x-x₂)+(y-y₁)·(y-y₂)=0.整理得x²+y²-(x₁+x₂)x-(y₁+y₂)y=0.

    故线段AB是圆C的直径.

证法二：∵｜+｜=｜+｜，∴(+)²=(-)²，即·=0

∴x₁x₂+y₁y₂=0,

    若点M(x,y)在以线段为直径的圆上，则·=-1(x≠x₁,x≠x₂)去分母得(x-x₁)(x-x₂)+(y-y₁)(y-y₂)=0.

    展开得x²+y²-(x₁+x₂)x-(y₁+y₂)y=0,

    所以线段AB是圆C的直径.

证法三：∵｜+｜=｜+｜，∴+=0,∴x₁x₂+y₁y₂=0,

    以AB为直径的圆的方程是：(x-)²+(y-)²=［(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²］,

    整理得x²+y²-(x₁+x₂)x-(y₁+y₂)y=0.

(Ⅱ)解法一：设圆C(x,y)，则∵=2px₁,=2px₂(p＞0).

∴x₁x₂=,又x₁x₂+y₁y₂=0,

∴x₁x₂=-y₁y₂,

∴-y₁y₂=,∵x₁x₂≠0,∴y₁y₂≠0,∴y₁y₂=-4p²,

∴x==(y²₁+)=(y²₁++2y₁y₂)-=(y²+2p²),

    所以圆心的轨迹方程为y²=px-2p²,

    设圆C到直线x-2y=0的距离为d,则

d==,当y=p时，d有最小值;由题设得=,

∴p=2.

解法二：设圆C的圆心为C(x,y)，则,∵y²₁=2px₁,=2px₂,(p＞0)

∴x₁x₂=,又∵x₁x₂+y₁y₂=0,∴x₁x₂=-y₁y₂.

∵x₁x₂≠0,∴y₁y₂=-4p²,∵x==(+)=(++2y₁y₂)-=(y²+2p²),所以圆心的轨迹方程为y²=px-2p²,

    设直线x-2y+m=0与x-2y=0的距离为,则m=±2,

    因为x-2y+2=0与y²=px-2p²无公共点，

    所以当x-2y-2=0与y²=px-2p²仅有一个公共点时，该点到x-2y=0的距离最小，最小值为,

∴消去x得，

y²-2py+2p²-2p=0有Δ=4p²-4(2p²-2p)=0.∵p＞0,∴p=2.

解法三：设圆C的圆C(x,y)，则,若圆心C到直线x-2y=0的距离为d,那么d=,

∵=2px₁,=2px₂(p＞0),

∴x₁x₂=,又x₁x₂+y₁y₂=0,∴x₁x₂=-y₁y₂,∵x₁x₂≠0,

∴y₁y₂=-4p²,∴d

=

=，当y₁+y₂=2p时，d有最小值,由题意得=,∴p=2.