Question

如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．
（1）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；
（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线A₁B₃与A₃B₅所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）

Answer 1

解：（1）设圆柱的高为h，由题意可知，4（4r+2h）=9.6，
即2r+h=1.2，
s=2πrh+πr²=πr（2.4-3r）=3π[-（r-0.4）²+0.16]，其中0＜r＜0.6
∴当半径r=0.4m时，S_max=0.48π≈1.51（m²）
（2）当r=0.3时，由2r+h=1.2，解得圆柱的高h=0.6（米），
如图以直线A₃A₇、A₁A₅及圆柱的轴为x、y、z轴，
建立空间直角坐标系，则有，
A₁（0，-0.3，0）
B₃（0.3，0，0.6）
A₃（0.3，0，0）
B₅（0，0.3，0.6），
∴=（0.3，0.3，0.6），=（-0.3，0.3，0.6），
两根直线A₁B₃与A₃B₅所在异面直线所成角α有，
cosα==
∴两线A₁B₃与A₃B₅所在异面直线所成角的大小arccos．
分析：（1）有题意可圆柱的高为h，可得s=2πrh+πr²用r表示出来，然后利用配方法求出s的最大值；
（2）利用向量建立坐标系来求解，以直线A₃A₇、A₁A₅及圆柱的轴为x、y、z轴，表示出直线A₁B₃与A₃B₅的坐标，从而求解．
点评：此题将函数与立体几何结合起来出题，考查利用配方法求二次函数的最值问题及异面直线的夹角问题，是一道好题．