Question

如图，已知直角梯形ABCD的上底BC=

2

，BC∥AD，BC=

1

2

ADCD⊥AD，PDC⊥，平面平面ABCD，△PCD是边长为2的等边三角形．
（1）证明：AB⊥PB；
（2）求二面角P-AB-D的大小．
（3）求三棱锥A-PBD的体积．

Answer 1

分析：（1）由已知中中在直角梯形ABCD中，因为AD=2

2

，BC=

2

，CD=2，我们易求出AB值，双由为BC⊥CD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，则BC⊥平面PDC，再由勾定理得到，我们可得AB⊥PB；
（2）设线段DC的中点为E，连接PE，EB，结合△PCD是等边三角形，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，我们易得AB⊥PE，AB⊥PB，则∠PBE就是二面角P-AB-D的平面角，解△PBE即可得到答案．
（3）V_A-PBD=V_P-ABD，求出棱锥的底面面积及高，代入棱锥体积公式即可得到答案．

解答：证明：（1）在直角梯形ABCD中，因为AD=2

2

，BC=

2

，CD=2
所以AB=

(AD-BC)2+CD2

=

6

．
因为BC⊥CD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，所以BC⊥平面PDC，因此在Rt△BCP中，PB=

BC2+PC2

=

6

．
因为BC∥AD所以AD⊥平面PDC，所以在Rt△PAD中，
PA=

AD2+PD2

=

(2 2 )2+22

=

12

．
所以在△PAB中，PA²=AB²+PB²，所以AB⊥PB．
解：（2）设线段DC的中点为E，连接PE，EB
因为△PCD是等边三角形，所以PE⊥C，
因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，所以PE⊥平面ABCD，因此AB⊥PE，由（1）知AB⊥PB，所以AB⊥平面PEB，所以AB⊥BE，因此∠PBE就是二面角P-AB-D的平面角，在Rt△PBE中，
sin∠PBE=

PE

PB

=

3

6

=

2

2

，所以∠PBE=

π

4

．
解：（3）∵V_A-PBD=V_P-ABD=

1

3

•S△ABD•PE=

1

3

×

1

2

•AD•DC•

3

=

1

3

×

1

2

×2

2

×2×

3

=

2 6

3

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质，棱锥的体积，二面角平面角的求法，在求二面角时，根据三垂线定理找到二面角的平面角是解答的关键．