Question

设O是正三棱锥P-ABC的底面△ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则（ ）
A．有最大值而无最小值
B．有最小值而无最大值
C．无最大值也无最小值
D．是与平面QRS无关的常数

Answer 1

【答案】分析：设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则v_S-PQR=S_△PQR•h=（PQ•PRsinα）•PS•sinβ，记O到各面的距离为d，利用v_S-PQR=v_O-PQR+v_O-PRS+v_O-PQS，可得：PQ•PR•PS•sinβ=d（PQ•PR+PR•PS+PQ•PS），由此可得结论．
解答：解：设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，
则v_S-PQR=S_△PQR•h=（PQ•PRsinα）•PS•sinβ．
另一方面，记O到各面的距离为d，则v_S-PQR=v_O-PQR+v_O-PRS+v_O-PQS，S_△PQR•d=_△PRS•d+S_△PRS•d+_△PQS•d=PQ•PRsinα+PS•PRsinα+PQ•PS•sinα，
故有：PQ•PR•PS•sinβ=d（PQ•PR+PR•PS+PQ•PS），
即=常数．
故选D．
点评：本题考查三棱锥体积的计算，考查学生的探究能力，正确求体积是关键．