Question

若q＞0，且q≠1，比较大小：

(1)1＋q²与2q；(2)1＋q³与q＋q²．

Answer 1

答案：
解析：

思路与技巧：多项式与多项式比较大小，由于展开时较繁，作差后灵活选择乘法公式进行因式分解，利用实数的符号法则确定积的正负． 　　解答：(1)(1＋q2)－2q＝1－2q＋q2＝(1－q)2 　　∵q＞0，且q≠1 ∴(1－q)2＞0 　　故1＋q2＞2q． 　　(2)(1＋q3)－(q＋q2) 　　＝(q＋1)(q2－q＋1)－q(q＋1) 　　＝(q＋1)(q2－2q＋1) 　　＝(q＋1)(q－1)2 　　∵q＞0且q≠1∴(q＋1)(q－1)2＞0 　　故1＋q3＞q＋q2． 　　评析：本题的结论使我们联想到，对于正项的等比数列{a1qn－1}(q≠1)有如下性质：与两端“等距离”两项之和，靠两端的和大于靠中间的和．即在数列a1，a1q，a1q2，…，a1qn－2，a1qn－1中(a1＞0，q＞0，q≠1)有：a1＋a1qn－1＞a1q＋a1qn－2＞a1q2＋a1qn－3＞…．