Question

已知点P（2，1）是圆O：x²+y²=4外一点．
（1）过点P引圆的切线，求切线方程；
（2）过点P引圆的割线，交圆与A，B两点，求弦AB中点的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求切线方程；
（2）设出弦AB中点坐标为（x，y），利用斜率关系可得方程，与圆O方程联立，可得范围．

解答：解：（1）直线x=2，过点P（2，1）且与圆O相切；
当斜率存在时，设方程为y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0
由d=

|-2k+1|

k2+1

=2，可得k=-

3

4

，所以方程为3x+4y-10=0；
（2）设弦AB中点坐标为（x，y），则

y

x

•

y-1

x-2

=-1，即x²+y²-2x-y=0
与圆O方程联立，可得y=4-2x，代入圆O方程可得5x²-16x+12=0
∴x=1.2或x=2
∴弦AB中点的轨迹方程为x²+y²-2x-y=0（1.2＜x＜2）．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．