Question

给出下列结论：
①当m=-

3

4

时，圆C：（x-1）²+（y-2）²=25倍直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）截得的弦长最短．
②若方程a²x²+（a+2）y²+2ax+a=0表示圆，则a=-1
③已知△ABC中，顶点A（2，1），B（-1，-1），∠C的平分线所在直线方程为x+2y-1=0，则顶点C的坐标为（

31

5

，-

13

5

）
④过点P引三条不共面的直线PA，PB，PC，其中∠BPC=90°，∠APC=∠APB=60°，且PA=PB=PC，则平面ABC⊥平面BPC，
其中正确的结论个数是（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,直线与圆,空间位置关系与距离

分析：①，直线l的方程：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）可化为：（2x+y-7）m+x+y-4=0，该直线经过定点M（3，1），当CM⊥l时，截得的弦长最短，可求得此时m的值，从而可判断①
②，若方程a²x²+（a+2）y²+2ax+a=0表示圆，则

a2=a+2 ( 2a a2 )2+02-4a2•a＞0

，求得a=-1，可判断②；
③，△ABC中，设C（a，b）则a+2b-1=0；易求AC斜率k₁=

b-1

a-2

，BC斜率k₂=

b+1

a+1

，又l的斜率k=-

1

2

，利用“到角公式”可求得a、b满足的另一个关系式，与a+2b-1=0联立可求得C点的坐标，从而可判断③；
④，依题意，作出图形，取BC的中点D，连接PD，AD，∠ADP为平面ABC与平面BPC所成的二面角的平面角，易证该角为直角，从而可判断④．

解答： 解：对于①，由于直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）可化为：（2x+y-7）m+x+y-4=0，
由

2x+y-7=0 x+y-4=0

得：

x=3 y=1

，故直线l经过定点M（3，1），
由于：（3-1）²+（1-2）²=5＜25，故点M在圆C内部，显然，CM⊥l，即直线l的斜率k=

1

- 1-2 3-1

=2时，
圆C：（x-1）²+（y-2）²=25倍直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）截得的弦长最短，此时-

2m+1

m+1

=2，解得m=-

3

4

，故①正确；
对于②，若方程a²x²+（a+2）y²+2ax+a=0表示圆，则

a2=a+2 ( 2a a2 )2+02-4a2•a＞0

，解得：a=-1，故②正确；
对于③，已知△ABC中，顶点A（2，1），B（-1，-1），∠C的平分线l所在直线方程为x+2y-1=0，
设C（a，b）则a+2b-1=0 （i）
AC斜率k₁=

b-1

a-2

，BC斜率k₂=

b+1

a+1

，又l的斜率k=-

1

2

，
因为直线l为角C的内角平分线，所以

k-k1

1+kk1

=

k2-k

1+kk2

，即

- 1 2 - b-1 a-2

1- 1 2 • b-1 a-2

=

b+1 a+1 -(- 1 2 )

1- 1 2 • b+1 a+1

（ii）
联立（i）（ii）解得：a=

23

5

，b=-

9

5

，
所以C（

23

5

，-

9

5

），故③错误；
对于④，过点P引三条不共面的直线PA，PB，PC，因为∠APC=∠APB=60°，且PA=PB=PC，

所以△APC与△APB为全等的等边三角形，故AC=AB，依题意，△ABC≌△BPC，且△ABC与△BPC均为等腰直角三角形．
取BC的中点D，连接PD，AD，则AD⊥BC，PD⊥BC，
所以，∠ADP为平面ABC与平面BPC所成的二面角的平面角，
设PA=PB=PC=1，则PD=AD=

2

2

，满足PD²+DA²=PA²，
所以，∠ADP=90°，
则平面ABC⊥平面BPC，故④正确．
综上所述，正确的结论有3个，
故选：C．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考察直线与圆的位置关系，考查弦长最短的应用，考查二元二次方程表示圆的条件的应用，考查到角公式、二面角的求法，考查等价转化思想、方程思想、数形结合思想的综合运用，属于难题．