Question

7．已知数列{a_n}满足2a_n+1=a_n+a_n+2，它的前n项和为S_n，且a₃=10，S₆=72．若b_n=$\frac{1}{2}$a_n-30．
（1）求数列{b_n}的前n项和T_n的最小值；
（2）求数列{|b_n|}的前n项和M_n．

Answer 1

分析 （1）通过数列{a_n}满足2a_n+1=a_n+a_n+2可知数列{a_n}为等差数列，利用a₃=10、S₆=72计算可知a_n=4n-2，进而可知b_n=2n-31，解不等式b_n≤0，求出最大正整数解即可；
（2）通过（1）可知|b_n|的表达式，分情况讨论：当1≤n≤15时M_n=-T_n、当n≥16时M_n=T_n-2T₁₅，进而计算可得结论．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足2a_n+1=a_n+a_n+2，
∴数列{a_n}为等差数列，
又∵a₃=10，S₆=72，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=10}\\{6{a}_{1}+\frac{5（1+5）}{2}d=72}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=4}\end{array}\right.$，
∴a_n=2+4（n-1）=4n-2，
∴b_n=$\frac{1}{2}$a_n-30=2n-1-30=2n-31，
令b_n=2n-31=0，解得：n=$\frac{31}{2}$，
∴当n=15时，T_n最小，
最小值为$\frac{15[（2-31）+（2×15-31）]}{2}$=-225；
（2）由（1）可知：|b_n|=$\left\{\begin{array}{l}{31-2n，}&{1≤n≤15}\\{2n-31，}&{n≥16}\end{array}\right.$，
∴当1≤n≤15时，M_n=-T_n=$\frac{n[（31-2）+（31-2n）]}{2}$=（30-n）n；
当n≥16时，M_n=T_n-2T₁₅=$\frac{n[（2-31）+（2n-31）]}{2}$-2×（-225）=n²-30n+450；
综上所述，M_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+30n，}&{1≤n≤15}\\{{n}^{2}-30n+450，}&{n≥16}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．