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已知向量
a
=(cos(-θ),sin(-θ)),
b
=(cos(
π
2
-θ),sin(
π
2
-θ))

(1)求证:
a
b

(2)若存在不等于0的实数k和t,使
x
=
a
+(t2+3)
b
y
=(-k
a
+t
b
),满足
x
y
,试求此时
k+t2
t
的最小值.
分析:(1)利用向量的数量积公式求出
a
b
,利用三角函数的诱导公式化简得数量积为0,利用向量垂直的充要条件得证.
(2)利用向量垂直的充要条件列出方程,利用向量的运算律化简方程,将方程中的k用t表示,代入
k+t2
t
,利用二次函数最值的求法求出最小值.
解答:解:(1)证明∵
a
b
=cos(-θ)•cos(
π
2
-θ)+sin(-θ)•sin(
π
2
-θ)
=sinθcosθ-sinθcosθ=0.
a
b

(2)解由
x
y
x
y
=0,
即[
a
+(t2+3)
b
]•(-k
a
+t
b
)=0,
∴-k
a
2
+(t3+3t)
b
2
+[t2-k(t+3)]
a
b
=0,
∴-k|
a
|
2
+(t3+3t)|
b
|
2
=0.
|
a
|
2
=1,|
b
|
2
=1,
∴-k+t3+3t=0,
∴k=t3+3t.
k+t2
t
=
t3+t2+3t
t
=t2+t+3=(t+
1
2
)2
2+
11
4

故当t=-
1
2
时,
k+t2
t
有最小值
11
4
点评:本题考查向量垂直的充要条件、向量的运算律、二次函数最值的求法.
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a
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b
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2
)
,且
a
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π
4
)
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3
,1),b=(
3
,1)
a
b
,则θ=
 

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a
=(cosα,sinα),
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a
+
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a
=(cosθ,sinθ),向量
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=(2
2
,-1),则|3
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-
b
|的最大值是
 

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