Question

已知椭圆C的中心在原点，左焦点为，离心率为．设直线l与椭圆C有且只有一个公共点P，记点P在第一象限时直线l与x轴、y轴的交点分别为A、B，且向量．
求：
（I）椭圆C的方程；
（II）的最小值及此时直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据椭圆的左焦点为，离心率为，建立方程，求得几何量，即可确定椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用直线l与曲线C有且只有一个公共点，确定m，k之间的关系，利用，可得，再借助于基本不等式，即可求得最小值及直线的方程．
解答：解：（Ⅰ）由题意，∵左焦点为，离心率为，
∴，，
∴a=2，于是b²=1，由于焦点在x轴上，故椭圆C的方程为…（5分）
（Ⅱ）设直线l的方程为：y=kx+m（k＜0），
消去y得：…（7分）
∵直线l与曲线C有且只有一个公共点，∴△=4k²m²-（1+4k²）（m²-1）=0
即m²=4k²+1①…（9分）
∵
∴②…（11分）
将①式代入②得：
当且仅当时，等号成立，故，
此时直线方程为：．…（14分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查基本不等式，综合性强．