Question

（2005•东城区一模）已知m∈R，研究函数f(x)=

mx2+3(m+1)x+3m+6

ex

的单调区间．

Answer 1

分析：先利用分式函数的导数法则求出f'（x），然后化简得f'（x）=

-mx2-(m+3)x-3

ex

，记g（x）=-mx²-（m+3）x-3，∵e^x＞0．从而只需讨论g（x）的正负即可，讨论二次项的正负以及g（x）=0有两个根的大小，从而求出函数的单调区间．

解答：解：f'（x）=

[2mx+3(m+1)]ex-[mx2+3(m+1)x+3m+6]e2

(ex)2

=

-mx2-(m+3)x-3

ex

．…（3分）
记g（x）=-mx²-（m+3）x-3，
∵e^x＞0．
∴只需讨论g（x）的正负即可．
（1）当m=0时，g（x）=-3x-3．
当g（x）＞0时，x＜-1，f'（x）＞0；
当g（x）＜0时，x＞-1，f'（x）＜0．
∴当m=0时，f（x）的增区间为（-∞，-1），减区间为（-1，+∞）．…（5分）
（2）当m≠0时，g（x）=0有两个根；x₁=-

3

m

，x2=-1，
①当m＜0时，x₁＞x₂，在区间（-∞，-1），（-

3

m

，+∞）上，g（x）＞0，即f'（x）＞0．
∴f（x）在此区间上是增函数；
在区间（-1，-

3

m

）上，g（x）＜0，即f'（x）＜0．
∴f（x）在此区间上是减函数；…（7分）
②当0＜m＜3时，x₁＜x₂，在区间（-∞，-

3

m

），（-1，+∞）上，g（x）＜0，即f'（x）＜0．
∴f（x）在此区间上是减函数；在区间（-

3

m

，-1）上，g（x）＞0，即f'（x）＞0．
∴f（x）在此区间上是增函数；…（9分）
当m=3时，x₁=x₂，在区间（-∞，-1），（-1，+∞）上，g（x）＜0，即f'（x）＜0．
∵f（x）在x=-1处连续，∴f（x）在（-∞，+∞）上是减函数；…（11分）
④当m＞3时，x₁＞x₂，在区间（-∞，-1），（-

3

m

，+∞）上，g（x）＜0，即f'（x）＜0．
∴f（x）在此区间上是减函数；
在区间（-1，-

3

m

）上，g（x）＞0，即f'（x）＞0，
∴f（x）在此区间上是增函数．…（13分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，同时考查了转化的思想和分类讨论的数学思想，属于中档题．