Question

14．求满足下列条件的圆的方程：
（1）圆心在直线l：x-y+10=0上，过点（-5，0），半径r=5；
（2）过点P（4，2），Q（-1，3），且圆在两坐标轴上的四个截距之和等于-10．

Answer 1

分析 （1）设圆心（a，b），由圆心在直线l：x-y+10=0上和两点间距离公式列出方程组，求出圆心坐标，由此能求出圆的方程．
（2）设圆心的坐标为（a，b），圆半径为r．由已知圆心必在PQ的中垂线上，圆的方程为 （x-a）²+（y-b）²=r²四个截距是 2（a+b），由此能求出圆的方程．

解答 解：（1）设圆心（a，b），
∵圆心在直线l：x-y+10=0上，过点（-5，0），半径r=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{（a+5）^{2}+{b}^{2}}=5}\\{a-b+10=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-10}\\{b=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-5}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴圆的方程为（x+10）²+y²=25或（x+5）²+（y-5）²=25．
（2）设圆心的坐标为（a，b），圆半径为r．
∵圆心必在PQ的中垂线上，P（4，2），Q（-1，3），
∴${k}_{PQ}=\frac{3-2}{-1-4}$=--$\frac{1}{5}$，PQ中垂线的斜率k=5，
∵PQ的中点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），
∴PQ的中垂线的方程为 y-$\frac{5}{2}$=5（x-$\frac{3}{2}$），
∴b-$\frac{5}{2}$=5（a-$\frac{3}{2}$），整理，得：b=5a-5，①
且 r²=（a-4）²+（b-2）²=13（2a²-6a+5），
圆的方程为 （x-a）²+（y-b）²=r²四个截距为 x=a±$\sqrt{{r}^{2}-{b}^{2}}$，y=b±$\sqrt{{r}^{2}-{a}^{2}}$，
和是 2a+2b=2（a+b），
∵圆在两坐标轴上的四个截距之和等于-10，
∴2（a+b）=-10，②
由①②，得a=0，b=-5．
r=$\sqrt{13×5}$=$\sqrt{65}$，
∴圆的方程为x²+（y-5）²=65．

点评 本题考查圆的方程的求法，是中档题，解题时要注意两点间距离公式和圆的性质的合理运用．