Question

已知函数f（x）满足f（x+1）=f（x）+1，当x∈[0，1]时，f（x）=|3x-1|-1，若对任意实数x，都有f（x+a）＜f（x）成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：先把绝对值函数化为分段函数，再根据图象的平移得到函数f（x）的图象，观察函数的图象，即可求出a的范围．

解答： 解：∵x∈[0，1]时，f（x）=|3x-1|-1，
∴当x∈[0，

1

3

]时，f（x）=-3x，
x∈（

1

3

，1]时，f（x）=3x-2，
由f（x+1）=f（x）+1，可得到f（x）大致图形为，如图所示
由图可以看出，当x=

1

3

时，即D点．
若a≥0，则f（

1

3

+a）≥f（

1

3

），不满足题意．所以a＜0．
由图中知，比D小的为C左边的区域，且不能为A点．
C点为f（-

1

3

），此时a=-

2

3

．
所以a的范围是（-∞，-

4

3

）∪（-

4

3

，-

2

3

）
故答案为：（-∞，-

4

3

）∪（-

4

3

，-

2

3

）

点评：本题考查了分段函数的图象和性质，以及含有参数的取值范围，关键是利用数形结合的思想，属于难题．