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(本小题满分12分)
如图,正三棱柱的所有棱长都为
中点.
(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求点到平面的距离.
(Ⅰ)平面
(Ⅱ)二面角的大小为
(Ⅲ)点到平面的距离为
解法一:(Ⅰ)取中点,连结
为正三角形,
正三棱柱中,平面平面
平面
连结,在正方形中,分别为
的中点,


在正方形中,
平面
(Ⅱ)设交于点,在平面中,作,连结,由(Ⅰ)得平面

为二面角的平面角.
中,由等面积法可求得


所以二面角的大小为
(Ⅲ)中,
在正三棱柱中,到平面的距离为
设点到平面的距离为


到平面的距离为
解法二:(Ⅰ)取中点,连结
为正三角形,
在正三棱柱中,平面平面
平面
中点,以为原点,的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,则



平面
(Ⅱ)设平面的法向量为



为平面的一个法向量.
由(Ⅰ)知平面
为平面的法向量.

二面角的大小为
(Ⅲ)由(Ⅱ),为平面法向量,

到平面的距离
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