Question

已知双曲线S的两个焦点F₁、F₂在x轴上，它的两条渐近线分别为l₁、l₂，y=

3

3

x是其中的一条渐近线的方程，两条直线X=±

3

2

是双曲线S的准线．
（I）设A、B分别为l₁、l₂上的动点，且2|

AB

|=5

F1F2

，求线段AB的中点M的轨迹方程：
（II）已知O是原点，经过点N（0，1）是否存在直线l，使l与双曲线S交于P，E且△POE是以PE为斜边的直角三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：先利用已知条件求出双曲线S的标准方程；
（I）设出M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据中点坐标公式得x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y；再根据已知得y=±

3

3

x是l₁，l₂的方程，A，B，分别为l₁，l₂上的点．以及弦长公式和2|

AB

|=5

F1F2

，即得答案：
（II）先设出直线l的方程，把直线方程与双曲线方程联立，得到P，E坐标与直线斜率之间的等量关系；再结合△POE是以PE为斜边的直角三角形对应的结论

OP

•

OE

=0．即可求出最终结论．（注意对直线方程分斜率存在和不存在两种情况来讨论）

解答：解：根据题意设双曲线S的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
根据已知，得

b a = 3 3 a2 c = 3 2 c2=a2+b2

，解方程组，得

a= 3 b=1 c=2

，
∴双曲线S的方程为

x2

3

-y2=1．
（I）设M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

，
即x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
∵2|

AB

| =5|

F1F2

|，
∴|

AB

| =

5

2

|

F1F2

| =

5

2

×2c=10，
即

(x2-x1)2+(y1-y2)2

=10．
由已知得y=±

3

3

x是l₁，l₂的方程，A，B，分别为l₁，l₂上的点．
所以（y₁+y₂）²=

1

3

（x₁-x₂）²．即（x₂-x₁）²=3（y₂+y₁）²．
（y₂-y₁）²=

1

3

(x2+x1) 2．
∴

(x2-x1)2+(y2-y1) 2

=

3(y2+y1)2+ 1 3  (x2+x1) 2

=10．
∴3×（2y）²+

1

3

（2x）²=100．即

x2

75

+ 

3y2

25

=1．
所以线段AB的中点M的轨迹方程为：

x2

75

+ 

3y2

25

=1．
（II）∵经过点N（0，1），斜率不存在的直线是x=0，它与曲线S不相交，
∴经过点N（0，1）斜率不存在的直线不符合要求．
当经过点N（0，1）的直线斜率存在时，设方程为y=kx+1．
假设它满足要求，根据已知设P（x₃，kx₃+1），E（x₄，kx₄+1）
∵△POE是以PE为斜边的指直角三角形
∴

OP

•

OE

=0．即x₃x₄+（kx₃+1）（kx₄+1）=0．
∴（1+k²）x₃x₄+k（x₃+x₄）+1=0．
由

x2 3 - y2=1 y=kx+1

得（1-3k²）x²-6kx-6=0．
∴x₃+x₄=

6k

1-3k2

，x₃•x₄=

-6

1-3k2

．
∴（1+k²）•

-6

1-3k2

+k•

6k

1-3k2

=1．化简得：3k²+5=0，此方程无实数根．
所以经过点N（0，1）斜率存在的直线l也不满足要求．
综上可得：满足要求的直线l不存在．

点评：本题是一道综合性很强的好题．涉及到的知识点有：双曲线标准方程的求法，轨迹方程的求法，两点间的距离公式，以及韦达定理等，是对知识的综合考查，要想在这种类型题目上得分，需要有比较扎实的基本功．