Question

7．已知点P为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右支上一点，F₁，F₂为双曲线的左、右焦点，使（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）（$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）=0（O为坐标原点），且|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，则双曲线离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• B． $\sqrt{6}$+1
• C． $\sqrt{3}$+1
• D． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

Answer 1

分析 根据双曲线的定义可知和|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，可得|PF₂|=（$\sqrt{3}$+1）a，再根据（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）（$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）=0，得到△OPF₂为等边三角形，即可得到c=（$\sqrt{3}$+1）a，即可求出离心率．

解答 解：|PF₁|-|PF₂|=2a，|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，
∴|PF₂|=（$\sqrt{3}$+1）a，
∵（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）（$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）=0，
∴|$\overrightarrow{OP}$|=|$\overrightarrow{O{F}_{2}}$|，
设Q为PF₂的中点，
∴$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{OQ}$，$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{O{F}_{2}}$=$\overrightarrow{{F}_{2}P}$，
∴$\overrightarrow{OQ}$⊥$\overrightarrow{{F}_{2}P}$，
∴△OPF₂为等边三角形，
∴c=（$\sqrt{3}$+1）a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$+1，
故选：C．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直径所对的圆周角为直角，以及等腰三角形的性质，考查离心率公式的运用，属于中档题．