Question

二项式（-x）¹⁰展开中含有x的负指数幂项与正指数幂的项的系数之和为（ ）
A．1
B．0
C．8065
D．-8065

Answer 1

【答案】分析：由二项式定理可得二项式（-x）¹⁰展开式的通项，令x的系数为0，求出此时r的值，代入通项中可得其常数项的值，进而在二项式（-x）¹⁰中，令x=1可得，其展开式系数之和，又由在其展开式中，含有x的负指数幂项与正指数幂的项的系数之和加上常数项即其二项展开式的各项系数之和；计算可得答案．
解答：解：二项式（-x）¹⁰展开式的通项为T_r+1=C₁₀^r（）^10-r（-x）^r=C₁₀^r（-1）^r 2^10-rx^2r-10；
令2r-10=0，可得r=5，
则其展开式的常数项为T₆=-C₁₀⁵2⁵=-8064，
在二项式（-x）¹⁰中，令x=1可得，其展开式系数之和为（2-1）¹⁰=1，
则其展开式中含有x的负指数幂项与正指数幂的项的系数之和为1-（-8064）=8065；
故选C．
点评：本题考查二项式定理的运用，注意在其展开式中，含有x的负指数幂项与正指数幂的项的系数之和加上常数项即其二项展开式的系数之和．