Question

.数列{a_n}满足a_n＞0，前n项和．
①求s₁，s₂，s₃；
②猜想{s_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

解：①由S_n=（a_n+）得S₁=（a₁+），
∴=1，又a₁＞0，
∴S₁=a₁=1，…（2分）
由S₂=a₁+a₂
=1+a₂
=（a₂+）可得：+2a₂-1=0，a₂＞0，
∴a₂=-1，
∴S₂=，…（4分）
同理可求a₃=-，S₃=…（6分）
∴s₁=1，，…（7分）
猜想S_n=，下面用归纳法证明：
（1）当n=1时，s₁=1显然猜想成立．…（9分）
（2）假设n=k时（k≥1）猜想也成立，
即s_k=…（10分）
当n=k+1时，s_k+1=s_k+a_k+1=+a_k+1，
又s_k+1=（a_k+1+），
∴+a_k+1=（a_k+1+），
∴a_k+1=-，
∴s_k+1=s_k+a_k+1=…（12分）
即n=k+1时猜想也成立．
由①，②得猜想成立．…（13分）
分析：①，由S₁=（a₁+），a₁＞0可求得S₁，从而可求得a₂，继而可求得S₂，S₃；
②由s₁，s₂，s₃的值可猜得S_n=，用数学归纳法证明即可．
点评：本题考查数列的递推公式，考查数学归纳法证明问题，猜得S_n=是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．