Question

13、观察如图类似杨辉三角的数表，则此表最后一个数是

101×2⁹⁸

．

Answer 1

分析：由第一行第一个数为1，第二行第一个数是1+2，第三行第一个数是1+2•2+3，第四行第一个数是1+3•2+3•3+4，然后猜想第n行第一数是c_n-1⁰•1+c_n-1¹•2+c_n-11²•3+…+c_n-1^n-2（n-1）+c_n-1^n-1•n，利用倒序相加法和二项式定理的性质，即可求得结果．

解答：解：令a_n，1表示第n行的第一个数，
则a_1，1=1，
a_2，1=1+2，
a_3，1=1+2+2+3=1+2•2+3，
a_4，1=1+2+2+3+2+3+3+4=1+3•2+3•3+4，
…
∴a_n，1=c_n-1⁰•1+c_n-1¹•2+c_n-11²•3+…+c_n-1^n-2（n-1）+c_n-1^n-1•n，
∴a_100，1=c₉₉⁰•1+c₉₉¹•2+c₉₉³•3+…+c₉₉⁹⁹•100，

a_100，1=c₉₉⁹⁹•100+c₉₉⁹⁸•99+c₉₉⁹⁷•98+…+c₉₉⁰•1，
∵2a_100，1=101（c₉₉⁰+c₉₉¹+c₉₉²+…+c₉₉⁹⁹）=101•2⁹⁸，
故答案为101•2⁹⁸．

点评：此题是个中档题．本题是一道找规律的题目，要求学生的通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．此题要根据已知的数据发现各行的第一个数和第二个数的规律．杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．