Question

设定义域R上的函数f（x）既是单调函数又是奇函数，若f（klog₂t）+f（log₂t-log₂²t-2）＞0，对一切 t∈R⁺成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：∵函数f（x）是奇函数，
∴f（klog₂t）+f（log₂t-log₂²t-2）＞0可化为
f（klog₂t）＞f（log₂²t-log₂t+2）
令u=log₂t，则原不等式可化为：
f（ku）＞f（u²-u+2）
∵函数f（x）是单调函数
故ku＞u²-u+2或ku＜u²-u+2恒成立
即u²-（k+1）u+2＞0或u²-（k+1）u+2＜0恒成立
由于函数g（u）=u²-（k+1）u+2
为开口方向向上的抛物线，故g（u）=u²-u+2无最大值
∴u²-（k+1）u+2＞0恒成立
即△=（k+1）²-8＜0
解得：-2-1＜k＜2-1
分析：由已知中函数f（x）既是单调函数又是奇函数，根据函数的性质我们可将不等式f（klog₂t）+f（log₂t-log₂²t-2）＞0恒成立，转化为u²-（k+1）u+2＞0或u²-（k+1）u+2＜0恒成立，根据二次函数恒成立的处理方法，即可得到实数k的取值范围．
点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质及奇函数的性质，其中利用函数的性质将问题转化为熟悉的二次函数问题是解答本题的关键．