Question

已知定义在（-1，1）上的奇函数f（x）在整个定义域上是减函数，若f（1-a）+f（1-3a）＜0，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：：∵f（1-a）+f（1-3a）＜0
∴移项，得f（1-a）＜-f（1-3a）
又∵f（x）在（-1，1）上为奇函数
∴-f（1-3a）=f（3a-1）
且-1＜1-3a＜1…①，
∴f（1-a）＜f（3a-1）
又∵f（x）是定义在（-1，1）上的减函数
∴1-a＞3a-1且-1＜1-a＜1…②，
联解①②，得0＜a＜，所以实数a的取值范围为（0，）．
分析：根据函数f（x）是奇函数，将不等式f（1-a）+f（1-3a）＜0移项，整理得f（1-a）＜f（3a-1）．因为f（x）函数为定义在（-1，1）上的减函数，所以有-1＜3a-1＜1-a＜1，解之即得实数a的取值范围．
点评：本题给出一个定义在（-1，1）上的抽象函数，在已知其单调性和奇偶性的情况下，解关于a的不等式，着重考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，属于基础题．